Nació en Santiago del Estero, fue hijo de Absalón Rojas y Rosario Sosa y hermano del escritor Ricardo Rojas.​ Siendo muy joven se trasladó a Buenos Aires donde estudió en la Facultad de Ciencias Médicas de la Universidad de Buenos Aires. Su tesis, La literatura de los alienados: su valor clínico y médicolegal, ganó en 1914 el Premio Wilde. Luego se perfeccionó en la Universidad de París. Rojas se formó como médico legista, interesado especialmente en la psiquiatría forense.

En el ámbito académico, fue designado profesor titular de la cátedra Medicina Legal (1924 a 1946) de la Universidad de Buenos Aires cargo que fue alcanzado mediante un concurso de mérito y oposición. Durante algunos meses de 1955 ejerció el cargo de Rector de esa Universidad, fundó y dirigió desde 1931 por muchos años con José Belbey los Archivos de Medicina Legal.

Fue fundador de la Sociedad de Medicina Legal y Toxicología, cofundador de la Sociedad Argentina de Grafología,​ fue presidente del Rotary Club de Buenos Aires, presidente del Instituto de Sociología e Historia “Sarmiento”,​ presidente de la Academia Nacional de Medicina, embajador en París ante la UNESCO (1964 a 1966) y diputado nacional en tres períodos no consecutivos,​ (1942-1943; 1946-1950; 1960-1962), desde donde abogó por la protección de toxicómanos y alcoholistas, en contra del comercio ilícito de drogas y por el establecimiento de la Clínica de Intoxicaciones y Enfermedades del Trabajo en la Universidad de Buenos Aires, entre otros temas.

El 7 de marzo, día de su nacimiento, fue instituido «Día Nacional del Médico Legista» según Ley 25.958, sancionada el 10 de noviembre de 2004 y promulgada por Decreto n.º 1696 el 1º de diciembre de 2004.​